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¿Qué es un método numérico? - page 52 / 82

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El valor de la función en un punto cualquiera X se puede evaluar a través de un polinomio equivalente al de la expresión (1.13):

f(X)=P(X)= b0 + b1(X-Xi) + b2(X-Xi)2 + b3(X-Xi)3 + ... + bn(X-Xi)n + ...

_____ (1.15)

Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola con la expresión (1.13), se obtiene:

a0 = b0 - b1Xi + b2Xi2 - b3Xi3 + b4Xi4 - ...

a1 = b1 - 2b2Xi + 3b3Xi2 - 4b4Xi3 + ...

a2 = b2 - 3b3Xi + 6b4Xi2 - ..._____ (1.16)

...

an = bn - ...

Las n primeras derivadas del polinomio son:

P'(X) = b1 + 2b2(X-Xi) + 3b3(X-Xi)2 + ... + nbn(X-Xi)n-1 + ...

P''(X) = 2b2 + 32b3(X-Xi) + ... + n(n-1)bn(X-Xi)n-2  + ...

P'''(X) = 32b3 + ... + n(n-1)(n-2)bn(X-Xi)n-3 + ..._____ (1.17)

...

P(n)(X) = n(n-1)(n-2) ... 321bn + ... = n!bn + ...

Evaluando el polinomio y sus derivadas en el punto Xi:

P(Xi) = b0

P'(Xi) = b1

P''(Xi) = 2b2 = 2!b2_____ (1.18)

...

P(n)(Xi) = n!bn

Considerando simultáneamente las expresiones (1.14) y (1.18):

b0 = f(Xi)

b1 = f'(Xi)

b2 = f''(Xi)/2!_____ (1.19)

...

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