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¿Qué es un método numérico? - page 55 / 82

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h = Xi - Xi-1 = 1 - 0 = 1

f(Xi-1) = f(0) = 1 - 6(1) + 2(1)2/2! - 6(1)3/3!

= 1 - 6 + 1 - 1 = - 5

En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido se ajusta perfectamente a la función, porque ésta es algebraica, polinomial de tercer grado; en este caso, las derivadas de orden superior al tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro términos de la expansión en serie de Taylor son suficientes para determinar, sin error alguno, el comportamiento de la función, para cualquier valor de X.

Pero no siempre es así; cuando se trata de funciones trascendentes o mixtas, la expansión en serie de Taylor sólo puede proporcionar una aproximación a la función de interés, porque, en ese caso, cada uno de los términos de la serie infinita tiene un valor absoluto diferente de cero, con el que participa, así sea de manera mínima, en el valor de la función.  En virtud de que no es posible considerar un número infinito de términos, no hay más remedio que truncar la serie y considerar únicamente los n primeros.

Ejemplo.  Aproximar la función f(X) = cos X en 30, conociendo los valores de la función y el de sus derivadas para 0 y considerando los primeros siete términos de la expansión en serie de Taylor.  No olvidemos que se debe trabajar en radianes:

Xi = 0 = 0;Xi+1 = 30 = p/6;h = Xi+1 - Xi = p/6 - 0 = p/6

f(X) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + fiv(Xi)h4/4! +

+ fv(Xi)h5/5! + fvi(Xi)h6/6!

f(X) = cos Xf(0) = cos 0 = 1

f'(X) = - sen Xf'(0) = - sen 0 = 0

f''(X) = - cos Xf''(0) = - cos 0 = - 1

f'''(X) = sen Xf'''(0) = sen 0 = 0

fiv(X) = cos Xfiv(0) = cos 0 = 1

fv(X) = - sen Xfv(0) = - sen 0 = 0

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