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¿Qué es un método numérico? - page 56 / 82

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fvi(X) = - cos Xfvi(0) = - cos 0 = - 1

f(p/6) = 1 - 1(p/6)2/2! + 1(p/6)4/4! - 1(p/6)6/6!

= 1 - 0.1370778 + 0.0031317 - 0.0000286 = 0.8660252

Considerando como "verdadero" el valor que ofrece una calculadora científica de 8 dígitos, que es:  cos 30 = 0.8660254, se aprecia que el truncamiento a siete términos de la serie, conduce a un pequeño error de 0.0000002

1.5.2El residuo de la serie de Taylor

En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error por truncamiento, pero no quedó lo suficientemente claro, porque para comprender este concepto, faltaba conocer a detalle el comportamiento de la expansión en serie de Taylor.

Ahora podemos entender con claridad qué es un truncamiento y cómo repercute éste en un error, al aproximar el valor de una función para un determinado valor de la variable, considerando solamente los primeros n términos de la serie infinita.

Los términos de la serie que se desprecian constituyen un residuo cuyo valor puede tener signo positivo, en detrimento del valor de la función, o negativo, en profusión del valor de la función; en términos absolutos, este residuo puede ser significativo o insignificante (como sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende de dos factores:

1) el valor de n, es decir, el número de términos de la serie, considerados al aproximar el valor de la función; mientras mayor sea el valor de n, menor será el residuo y mejor será la aproximación al valor de la función.

2) el valor de h, es decir, el tamaño del paso o distancia entre el valor de la variable para el cual se evalúa la función y el valor de la variable para el que se conoce el valor de la función y el de sus derivadas; mientras menor sea el valor de h, mayor será la cercanía entre Xi y Xi+1 y, por ende, mejor será la aproximación al valor de la función.

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