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¿Qué es un método numérico? - page 57 / 82

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En adelante, y en tanto no se indique lo contrario, usaremos únicamente la expansión en serie de Taylor que considera el paso hacia adelante para aproximar f(Xi+1) a partir de f(Xi) y sus derivadas, conforme a la expresión (1.21), la que en forma explícita se escribe:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + ...

_____ (1.21')

y en forma alternativa:

f(Xi+1) = f(Xi) + f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! + ... + f(n)(Xi)hn/n! + Rn

_____ (1.23)

Esta última expresión se conoce como expansión en serie de Taylor con residuo, y es idéntica a la expresión (1.21'), excepto porque los puntos suspensivos se han sustituido por el término Rn, que sintetiza los términos de la serie que se han despreciado y se conoce con el nombre de residuo de la aproximación al n-ésimo orden.

La serie se puede truncar en cualquier punto, de manera que el subíndice n indica que sólo se han incluido en la aproximación los primeros (n+1) términos de la serie.

Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo término (n = 0):

f(Xi+1) f(Xi)

lo que implica suponer que la función que se va a aproximar es una constante:

P(X) = a0 ; si tal suposición es cierta, la aproximación resulta perfecta y no hay error alguno, pero si no es así, existe un residuo R0 tal que se cumple:

f(Xi+1) = f(Xi) + R0

R0 = f'(Xi)h + f''(Xi)h2/2! + f'''(Xi)h3/3! +...+ f(n)(Xi)hn/n! +..._____ (1.24)

R0 es el residuo de orden cero y representa una serie infinita idéntica a la de la expresión (1.21'), excepto por la exclusión del primer término.

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