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¿Qué es un método numérico? - page 65 / 82

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Sin embargo, las ecuaciones diferenciales generalmente están sujetas a ciertas condiciones, que la función desconocida debe satisfacer; se presentan básicamente dos tipos de problemas:

Problemas con condiciones iniciales o de valor inicial, en los que se busca determinar una solución particular de la ecuación diferencial propuesta, en atención a que, para un valor específico de la variable independiente, se conocen los valores que toma la función y algunas de sus derivadas.  En el ejemplo, si se sabe que: y(1)=0, y'(1)=5, se formula un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

y = C1sen (1) + C2 = 0 ;0.841471C1 + C2 = 0

y' = C1cos (1) + C2 = 5 ; 0.540302C1 + C2 = 5

cuya solución es: C1 = - 16.601992, C2 = 13.970095; estos valores definen una función única:  y = - 16.601992sen x + 13.970095x, que es una solución particular de la ecuación diferencial propuesta.

Problemas con condiciones de frontera o de valor de frontera, en los que se busca determinar una solución particular de la ecuación diferencial propuesta, atendiendo a que se conocen los valores que toma la función para dos o más valores de la variable independiente.  En el ejemplo, si se sabe que: y(1) = 0, y(8) = 10, se formula un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

y = C1sen (1) + 8C2 = 0 ;0.841471C1 + 8C2 = 0

y = C1sen (8) + C2 = 10 ;0.989358C1 + C2 = 10

cuya solución es: C1 = 11.309989, C2 = 1.189629; estos valores definen una función única:  y = 11.309989sen x + 1.189629x, que es otra solución particular de la ecuación diferencial propuesta.

Una ecuación diferencial de orden n tiene una solución que incluye n constantes arbitrarias, a la cual se le conoce como solución general.  La obtención de una solución particular implica el establecimiento de n condiciones iniciales o de frontera.

La obtención de soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales corresponde al curso "Ecuaciones Diferenciales".  En este curso de "Métodos Numéricos" nos interesa la obtención de soluciones numéricas aproximadas.

Ejemplo:  Imaginemos un paracaidista que pesa 68.1 kg, que se lanza desde una gran altura. El paracaidista cae y, antes de abrir el paracaídas, a medida que avanza el tiempo, adquiere cada vez más velocidad, hasta que llega el

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