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¿Qué es un método numérico? - page 66 / 82

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momento en que la fuerza de fricción del aire sobre el paracaidista, equilibra su peso y la velocidad se estabiliza, porque deja de haber aceleración en la caída.  El problema consiste en predecir la velocidad del paracaidista durante la caída, a través de un modelo matemático: una función (t), cuyo comportamiento vamos a deducir.

Un diagrama de cuerpo libre del paracaidista permite ver que existen dos fuerzas que actúan sobre él: una fuerza contante que ejerce la gravedad sobre su masa: W = mg (g = 9.81 m/s2), y una fuerza variable que ejerce el aire en oposición al movimiento de caída: Fr = - k (k = 12.5 kg/s es una constante de fricción).  Obviamente, la suma de estas dos fuerzas es variable durante la caída y, en atención a la segunda ley de Newton, la aceleración correspondiente también es variable y puede ser descrita por la variación de velocidad con respecto al tiempo.

F = W + Fr ;F = mg - k ;F = ma ;a = d/dt ;F = m d/dt

mg - k =  m d/dt ; d/dt = g - k/m

Esta última igualdad es una ecuación diferencial ordinaria, que describe el comportamiento de caída del paracaidista.

Solución analítica (sólo para efectos ilustrativos):

d/dt = g - k/m ;d = (g - k/m)dt ;d/(g - k/m) = dt ;

 d/(g - k/m) =   dt ;

 du/u = ln u ;u = g - k/m ;du = (-k/m)d ; d = (-m/k)du

-m/k   du/u = -m/k ln (u) = -m/k ln (g - k/m)

(-m/k)ln (g - k/m) = t + C ;C = constante de integración

ln (g - k/m) = (-k/m)t + C1 ;g - k/m = e(-k/m)t + C1 ;

k/m = g - e(-k/m)teC1 ; = (m/k)(g - C2e(-k/m)t)(solución general);

si t = 0,   = 0 ;0 = (m/k)(g - C2) ;C2 = g

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