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¿Qué es un método numérico? - page 71 / 82

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71 / 82

yi+1 = yi + (- 2xi3 + 12xi2 - 20xi + 8.5)(0.5)

= yi - xi3 + 6xi2 - 10xi + 4.25

  Solución numérica Euler      Solución analítica

xyxy

0000

0.55.250.53.2187515.87514

1.55.1251.52.2187524.522

Para x = 0.5, el error es:  E = 3.21875 - 5.25 = - 2.03125.

Verifiquemos, evaluando el residuo:

R1 = f'(xi,yi)h2/2! + f''(xi,yi)h3/3! + f'''(xi,yi)h4/24!

f'(x,y) = - 6x2 + 24x - 20 ;f'(0,0) = - 20

f''(x,y) = - 12x + 24 ;f''(0,0) = 24

f'''(x,y) = - 12 ;f'''(0,0) = - 12

R1 = - 20(0.5)2/2 + 24(0.5)3/6 - 12(0.5)4/24

= - 2.5 + 0.5 - 0.03125 = - 2. 03125

El residuo R1 es exactamente el error cometido.

Ejemplo:  Resuelva mediante el método de Euler la siguiente ecuación diferencial ordinaria, en el intervalo (0.5,1.0), considerando un tamaño de paso de 0.1:

dy/dx = x + 2xyy(0.5) = 1

La solución analítica es:y = 1.16820117 ex2 - 0.5

yi+1 = yi + (xi + 2xiyi)(0.1)

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