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¿Qué es un método numérico? - page 75 / 82

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= 0.70027665 i + 16.01867841

Solución que coincide total y absolutamente con la obtenida por el método de Heun; verifíquelo.

Ejemplo:  Resuelva mediante el método del polígono mejorado la siguiente ecuación diferencial ordinaria, en el intervalo (0.5,1.0), considerando un tamaño de paso de 0.1:

dy/dx = x + 2xyy(0.5) = 1

yi+1 = yi + (xi+0.5 + 2xi+0.5yi+0.5)h ;yi+0.5 = yi + (xi+ 2xiyi)h/2

yi+0.5 = yi + (xi+ 2xiyi)(0.1)/2 = yi + 0.05xi+ 0.1xiyi

yi+1 = yi + [xi+0.5 + 2xi+0.5(yi + 0.05xi+ 0.1xiyi)](0.1)

= yi + (xi+0.5 + 2xi+0.5yi + 0.1xixi+0.5+ 0.2xixi+0.5yi)(0.10)

= yi + 0.1xi+0.5 + 0.2xi+0.5yi + 0.01xixi+0.5+ 0.02xixi+0.5yi

Un método de segundo orden da siempre mejores aproximaciones que uno de primer orden.  Obsérvese que esta solución obtenida mediante el método del polígono mejorado es mucho más cercana a la solución analítica exacta, que la que habíamos obtenido a través del método de Euler.

Solución numérica polígono mejorado

xy

0.51

0.61.1732

0.71.4038

0.81.7094

0.92.1150

1.02.6566

Métodos de Runge Kutta.  Son métodos generales de solución paso a paso que consideran una función denominada función incremento: (xi,yi,h), para estimar el promedio de la pendiente sobre el intervalo.

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