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Leçon du 24 janvier 1961

Le paradoxe de Russell est celui-ci; on parle de l'ensemble de tous les ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes. Il faut que j'éclaire un peu cette histoire qui peut vous sembler au premier abord plutôt sèche. je vous l'indique tout de suite; si je vous y intéresse, du moins je l'espère, c'est avec cette visée qu'il y a le plus étroit rapport - et pas seulement homonymique, juste­ment parce qu'il s'agit de signifiant et qu'il s'agit par conséquent de ne pas com­prendre - avec la position du sujet analytique, en tant que lui aussi, dans un autre sens du mot comprendre... et si je vous dis de ne pas comprendre, c'est pour que vous puissiez comprendre de toutes les façons que lui aussi ne se com­prend pas lui-même. Passer par là n'est pas inutile, vous allez le voir, car nous allons sur cette route pouvoir critiquer la fonction de notre objet. Mais arrêtons-­nous un instant sur ces ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes.

Il faut évidemment, pour concevoir ce dont il s'agit, partir... puisque nous ne pouvons quand même pas, dans la communication, ne pas nous faire des conces­sions de références intuitives, parce que les références intuitives, vous les avez déjà, il faut donc les bousculer pour en mettre d'autres. Comme vous avez l'idée qu'il y a une classe, et qu'il y a une classe mammifères, il faut tout de même que j'essaie de vous indiquer qu'il faut se référer à autre chose. Quand on entre dans la catégorie des ensembles, il faut se référer au classement bibliographique cher à certains, classement composé de décimales ou autre, mais quand on a quelque chose d'écrit, il faut que ça se range quelque part, il faut savoir comment auto­matiquement le retrouver. Alors, prenons un ensemble qui se comprend lui-­même. Prenons par exemple l'étude des humanités dans un classement bibliographique. Il est clair qu'il faudra mettre à l'intérieur les travaux des huma­nistes sur les humanités. L'ensemble de l'étude des humanités doit comprendre tous les travaux concernant l'étude des humanités en tant que telles. Mais consi­dérons maintenant les ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes; cela n'est pas moins concevable, c'est même le cas le plus ordinaire. Et puisque nous sommes théoriciens des ensembles, et qu'il y a déjà une classe de l'ensemble des ensembles qui se comprennent eux-mêmes, il n'y a vraiment nulle objection à ce que nous fassions la classe opposée - j'emploie classe ici parce que c'est bien là que l'ambiguïté va résider -, la classe des ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes, l'ensemble de tous les ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes. Et c'est là que les logiciens commencent à se casser la tête, à savoir qu'ils se disent, cet ensemble de tous les ensembles qui ne se comprennent pas eux-mêmes, est-ce qu'il se comprend lui-même, ou est-ce qu'il ne se comprend pas ? Dans un cas comme dans l'autre il va choir dans la contradiction. Car si,

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