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L'identification

formes qu'elle vous propose dans ce quelque chose qui, si vous le voulez, par rapport à la géométrie classique, celle que vous gardez inscrite au fond de vos culottes du fait de votre passage dans l'enseignement secondaire, se présente exactement dans l'analogie de ce que j'essaie de vous faire sur le plan symbo­lique, ce que j'ai appelé une logique élastique, une logique souple. Cela, c'est encore plus manifeste pour la géométrie dont il s'agit, car la géométrie dont il s'agit dans la topologie algébrique se présente elle-même comme la géométrie des figures qui sont en caoutchouc. Il est possible que les auteurs fassent inter­venir ce caoutchouc, ce rubber comme on dit en anglais, pour bien mettre dans l'esprit de l'auditeur ce dont il s'agit. Il s'agit de figures déformables et qui à tra­vers toutes les déformations restent en rapport constant. Ce tore n'est pas forcé de se présenter ici dans sa forme bien remplie.

Ne croyez pas que parmi les surfaces qu'on définit, qu'on doit définir, qui sont celles qui nous intéressent essentiellement, les surfaces closes, pour autant qu'en tout cas le sujet se présente lui-même comme quelque chose de clos, les surfaces closes, quelle que soit votre ingéniosité, vous voyez qu'il y a tout le champ ouvert aux inventions les plus exorbitantes. Ne croyez pas d'ailleurs que l'imagination s'y prête de si bon gré, au forgeage de ces formes souples, complexes, qui s'enrou­lent, se nouent avec elles-mêmes. Vous n'avez qu'à essayer de vous assouplir à la théorie des nœuds pour vous apercevoir combien il est difficile déjà de se repré­senter les combinaisons les plus simples, encore ceci ne vous mènera-t-il pas loin, car on démontre que sur toute surface close, si compliquée soit-elle, vous arrive­rez toujours à la réduire par des procédés appropriés à quelque chose qui ne peut pas aller plus loin qu'une sphère pourvue de quelques appendices, parmi lesquels justement ceux qui, du tore, s'y représentent comme poignée annexée, une poi­gnée ajoutée à une sphère, telle que je vous l'ai dessinée récemment au tableau, une poignée suffisant à transformer la sphère et la poignée en un tore, du point de vue de la valeur topologique.

Donc tout peut se réduire à l'adjonction, à la forme d'une sphère avec un cer­tain nombre de poignées, plus un certain nombre d'autres formes éventuelles. J'espère que la séance avant les vacances, je pourrai vous initier à cette forme qui est bien amusante mais quand je pense que la plupart d'entre vous ici n'en soup­çonnent même pas l'existence! C'est ce qu'on appelle en anglais un cross-cap, ou ce qu'on peut désigner par le mot français de mitre. Enfin, supposez un tore qui aurait pour propriété quelque part sur son tour d'inverser sa surface, je veux dire qu'à un endroit qui se place ici entre deux points A et B, la surface exté­rieure traverse... la surface qui est en avant traverse la surface qui est en arrière,    -204-

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