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Leçon du 11 avril 1962

par exemple par une coupure avec une paire de ciseaux, qu'est-ce que vous obtien­drez ? Absolument pas, comme dans l'autre cas, un petit morceau qui s'en va et puis le reste du tore. Le tore restera tout entier bien intact sous la forme d'un

tuyau, ou d'une manche si vous voulez.

Si vous prenez d'autre part un autre type de cercle [3], celui dont je vous ai déjà parlé, celui qui n'est pas celui qui traverse le trou, mais qui en fait le tour, celui-là se trouve dans la même situation que le précédent quant à l'irréductibi­lité. Il se trouve également dans la même situa­tion que le précédent concernant le fait qu'il ne suffit pas à définir un intérieur ni un extérieur. Autrement dit que, si vous le suivez, ce cercle, et que vous ouvrez le tore à l'aide d'une paire de ciseaux, vous aurez à la fin quoi ? Eh bien, la même chose que dans le cas précédent; ça a la forme du tore, mais c'est une forme qui ne présente une différence qu'intuitive, qui est tout à fait essentiellement la même du point de vue de la structure. Vous avez toujours après cette opération, comme dans le premier cas, une manche, simplement c'est une manche très courte et très large. Vous avez une ceinture si vous voulez, mais il n'y a pas de différence essentielle entre une ceinture et une manche du point de vue topologique. Appelez ça encore une bande si vous voulez.

Nous voilà donc en présence de deux types de cercles, qui de ce point de vue d'ailleurs n'en font qu'un, qui ne définissent pas un intérieur et un extérieur. je vous fais observer incidemment que, si vous coupez le tore successivement sui­vant l'un et l'autre, vous n'arrivez pas encore pour autant à faire ce dont il s'agit, et que vous obtenez pourtant tout de suite avec l'autre type de cercle, le premier que je vous ai dessiné [1], à savoir deux morceaux. Au contraire le tore, non seu­lement reste bien tout entier, mais c'était, la première fois que je vous en parlai, une mise à plat qui en résulte et qui vous permet de symboliser éventuellement d'une façon particulièrement commode le tore comme un rectangle que vous pouvez en tirant un peu étaler comme une peau épinglée aux quatre coins; défi­nir les propriétés de correspondance de ses bords l'un à l'autre, de correspon­dance aussi de ses sommets, les quatre sommets se réunissant en un point, et avoir ainsi, d'une façon beaucoup plus accessible à vos facultés d'intuition ordi­naire, moyen d'étudier ce qui se passe géométriquement sur le tore. C'est-à-dire, il y aura un de ces types de cercles qui se représentera par une ligne comme celle-­ci [2], un autre type de cercles par des lignes comme celle-ci [3] représentant    241

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