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L'identification

peut réduire le tore à autre chose. On peut imaginer des formes de surface aussi complexes que vous voudrez, mais il faudra toujours tenir compte de la fonction tore dans toute planification, si je puis m'exprimer ainsi, dans toute triangulation dans la théorie des surfaces. Le tore ne suffit pas; il y faut d'autres germes, il y faut nommément la sphère, il y faut, ce à quoi je n'ai pas pu même aujourd'hui encore faire allusion, introduire la possibilité de ce qu'on appelle cross-cap, et la possibilité de trous. Quand vous avez la sphère, le tore, le cross-cap et le trou, vous pouvez représenter n'importe quelle surface qu'on appelle compacte, autre­ment dit une surface qui soit décomposable en lambeaux. Il y a d'autres surfaces qui ne sont pas décomposables en lambeaux, mais nous les laissons de côté.

Venons-en à notre tore et à la possibilité de son orientation. Est-ce que nous allons pouvoir la faire par rapport à la sphère idéale sur laquelle il s'accroche ? Nous pouvons, cette sphère, toujours l'introduire, à savoir qu'avec une suffi­sante puissance de souffle, n'importe quel tore peut venir à se présenter comme une simple poignée à la surface d'une sphère qui est une partie de lui-même suf­fisamment gonflée. Est-ce que par l'intermédiaire de

la sphère nous allons pouvoir, si je puis dire, replon­ger le tore dans ce que, vous le sentez bien, nous cher­chons pour l'instant, à savoir ce troisième terme qui nous permette d'introduire la dissymétrie dont nous avons besoin entre les deux types de cercles ? Cette dissymétrie pourtant si évidente, si intuitivement sen­sible, si irréductible même, et qui est pourtant telle qu'elle se manifeste à propos comme étant ce quelque chose que nous observons toujours dans tout dévelop­pement mathématique, la nécessité, pour que ça démarre, d'oublier quelque chose au départ. Ceci vous le retrouvez dans toute espèce de progrès formel; ce quelque chose d'oublié et qui littéralement se dérobe à nous, nous fuit dans le formalisme. Est-ce que nous allons pouvoir le saisir, par exemple dans la réfé­rence de quelque chose qui s'appelle tuyau à la sphère ?

En effet, regardez bien ce qui se passe, et ce qu'on nous dit que toute surface formalisable peut nous donner, dans la réduction, la forme normale. On nous dit, ceci se ramènera toujours à une sphère, avec quoi ? avec des tores insérés sur celle-ci, et que nous pouvons valablement symboliser ainsi. je vous passe la théorie. L'expérience prouve que c'est strictement exact. Qu'en outre nous aurons ce qu'on appelle des cross-cap. Ces cross-cap, je renonce à vous en par­ler aujourd'hui, il faudra que je vous en parle parce qu'ils nous rendront le plus grand service.250

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