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Leçon du 16 mai 1962

Si ce nœud, vous voulez essayer de le reproduire en usant du tore, en suivant les tours et les détours que vous pouvez faire à la surface d'un tore, vous pour­riez après plusieurs tours revenir sur une ligne qui se boucle comme le nœud ci-dessus. Vous ne pouvez le faire sans que la ligne se coupe elle-même. Comme sur la surface du tore vous ne pourrez pas marquer que la ligne passe au-dessus ou au-dessous, il n'y a pas moyen de faire ce nœud sur le tore. Il est par contre parfaitement faisable sur le cross-cap. Si cette surface implique la présence de la quatrième dimension, c'est un commencement de preuve que le plus simple nœud implique la quatrième dimension.

Cette surface, le cross-cap, je vais vous dire comment vous pouvez l'imagi­ner. Ça n'imposera pas sa nécessité, par là-même, pour nous, menée. Elle n'est pas sans rapport avec le tore, elle a même avec le tore le rapport le plus profond. La façon la plus simple de vous donner ce rapport est de vous rappeler comment le tore est construit quand on le décompose sous une forme polyédrique, c'est-à-dire en le ramenant à son polygone fondamen­tal. Ici, ce polygone fondamental, c'est un quadrilatère.

Si ce quadrilatère, vous le repliez sur lui-même, vous aurez un tube enjoi­gnant les bords [fig. 3]. Si on vectorise ces bords en convenant que ne peuvent être accolés l'un à l'autre que les vecteurs qui vont dans le même sens, le début d'un vecteur s'appliquant au point où se termine l'autre vecteur, dès lors on a toutes les coordonnées pour définir la structure du tore.

Si vous faites une surface dont le polygone fondamental est ainsi défini par des vecteurs allant tous dans le même sens sur le quadrilatère de base, si vous partez d'un polygone ainsi défini [fig. 4, 1], ça ferait seulement deux bords, ou même un seul; vous obtenez ce que je vous matérialise comme la mitre [fig. 4, 2]. Je reviendrai sur sa fonc­tion de symbolisation de quelque chose et ça sera plus clair quand ce nom servira

de support.

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