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Leçon du 6 juin 1995

de pénétration, évidemment elle se présentera comme cela (c), c'est-à-dire comme elle est de l'autre côté, elle sera pointillée de ce côté-ci, et elle sera pleine, puisque d'après notre convention ce qui est pointillé est vu par transparence. Rien dans la structure de la surface ne nous permet de distinguer la valeur de ces coupures donc de celles auxquelles nous aboutissons ici, mais pour l’œil elles se présentent comme rentrant toutes deux du même côté de la ligne de pénétration. Est-ce que c'est très simple pour l'œil ? Sûrement pas. Car cette différence qu'il y a entre, pour la coupure, de rentrer de deux côtés différents ou rentrer par le même côté, c'est quelque chose qui doit tout de même se signaler dans le résul­tat, sur la figure. Et d'ailleurs, ceci est tout à fait sensible.

Si vous réfléchissez à ce que c'est, ce qui désormais est découpé sur cette sur­ face, vous le reconnaîtrez facilement.

D'abord, c'est la même chose que notre signifiant. En plus, de la façon dont cela découpe une surface, cela découpe une sur­face dont vous sentez très bien, vous n'avez qu'à regarder la figure, que c'est une bande, une bande qui n'a qu'un bord. je vous ai déjà montré ce que c'est, c'est une surface de Moebius (a). Or, les propriétés d'une surface de Moebius sont des propriétés complètement différentes de celles de cette petite surface tournante (b) dont je vous ai montré tout à l'heure les propriétés en la retournant, en la mirant, en la transformant et en vous disant finalement que c'est celle-là qui nous intéresse.

Ce petit tour de passe-passe a évidemment une raison qui n'est pas difficile à chercher. Son intérêt est simplement de vous montrer que cette coupure divise la surface toujours en deux parts, dont l'une conserve le point dont il s'agit à son inté­rieur, et dont l'autre ne l'a plus. Cette autre partie, qui est tout aussi bien présente là que dans la figure terminale, c'est une surface de Moebius. La double coupure divise toujours la surface appelée cross-cap en deux, ce quelque chose auquel nous nous intéressons et dont je vais faire pour vous le support de l'explication du rap­port de $ avec a dans le fantasme, et de l'autre côté, une surface de Moebius. Quelle est la première chose que je vous ai fait toucher du doigt quand je vous ai fait cadeau de cette petite cinq ou sixaine de surfaces de Moebius que j'ai lancées à tra­vers l'assemblée ? C'est que la surface de Moebius, elle, au sens où je l'entendais tout à l'heure, est irréductiblement gauche. Quelque modification que vous lui fassiez subir, vous ne pourrez pas lui superposer son image dans le miroir.

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