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L'identification

C'est fort difficilement visualisable, mais le fait que ce qui est d'un côté dans un sens doive se conjoindre à ce qui, de l'autre côté, est dans le sens opposé, nous montre ici la structure pure, encore que non visualisable, de la bande de Moebius. La différence de ce qui se produit quand vous pratiquez cette coupure simple sur le plan projectif avec le plan projectif lui-même, c'est que vous perdez un des élé­ments de sa structure, vous n'en faites qu'une pure et simple bande de Moebius, à ceci près que vous ne voyez nulle part apparaître ce qui est essentiel dans la struc­ture de la bande de Moebius, un bord. Or ce bord est tout à fait essentiel dans la bande de Moebius. En effet, dans la théorie des surfaces - je ne peux pas m'y étendre de façon entièrement satisfaisante -, pour déterminer des propriétés telles que le genre, le nombre de connexions, la caractéristique, tout ce qui fait l'intérêt de cette topologie, vous devez faire entrer en ligne de compte que la bande de Mœbius a un bord et n'en a qu'un, qu'elle est construite sur un trou. Ce n'est pas pour le plaisir du paradoxe que je dis que les surfaces sont des organisations du trou. Ici donc, s'il s'agit d'une bande de Mœbius, cela signifie que, quoique nulle part il n'y ait lieu de le représenter, il faut bien que le trou demeure. Pour que ce soit une bande de Moebius vous mettrez donc là un trou. Si petit soit-il, si punc­tiforme qu'il soit, il remplira topologiquement exactement les mêmes fonctions

que celles du bord complet dans ce quelque chose que vous pouvez dessiner quand vous dessinez une bande de Moebius, c'est-à-dire à peu près quelque chose comme ceci.

Comme je vous l'ai fait remarquer, une bande de Mœbius est aussi simple que cela. Une bande de Mœbius n'a qu'un bord. Si vous suivez son bord, vous avez fait le tour de tout ce qui est bord sur cette bande, et en fait ce n'est qu'un trou, une chose qui peut apparaître comme purement cir­culaire. En soulignant les deux côtés, en inversant, l'un par rapport à l'autre s'accolant, il resterait qu'il serait nécessaire, pour qu'il s'agisse bien d'une bande de Moebius, que nous conservions sous une forme aussi réduite que possible l'existence d'un trou. C'est bien effectivement ce qui nous indique le caractère irréductible de la fonction de ce point. Et si nous essayons de l'articuler, de mon­trer sa fonction, nous sommes amenés, en le désignant comme point-origine de l'organisation de la surface sur le plan projectif, à y retrouver des propriétés qui ne sont pas complètement celles du bord de la surface de Moebius, mais qui sont tout de même quelque chose qui est tellement un trou que si on entend le sup­primer par cette opération de section par la coupure passant par ce point, c'est en tout cas un trou qu'on fait apparaître de la façon la plus incontestable.

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