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Leçon du 13 juin 1962

Qu'est-ce que cela veut dire encore ? Pour que cette surface fonctionne avec ses propriétés complètes, et particulièrement celle d'être unilatère comme la bande de Moebius - à savoir qu'un sujet infiniment plat s'y promenant peut, partant d'un point quelconque extérieur de sa surface, revenir par un chemin

extrêmement court, et sans avoir à passer par aucun bord, au point envers de la surface dont il est parti - pour que cela puisse se produire, il faut que dans la construction de l'appareil que nous appelons plan pro­jectif il y ait quelque part, si réduit que vous le suppo­siez, cette sorte de fond qui est représenté ici, ce cul de l'appareil (b) la partie qui n'est pas structurée par l'entrecroisement. Il doit en rester un petit morceau, si petit soit-il, sans quoi la surface devient autre chose, et nommément ne représente plus cette propriété de fonctionner comme unilatère.

Une autre façon de mettre en valeur la fonction de ce point: le cross-cap ne peut pas se dessiner purement et simplement comme quelque chose qui serait divisé en deux par une ligne où s'entrecroiseraient les deux surfaces (a). Il faut qu'il reste ici (b) quelque chose qui, au-delà du point, l'entoure; quelque chose comme une cir­conférence, si réduite soit-elle, une surface qui permette de faire communiquer les deux lobes supérieurs si l'on peut dire, de la surface ainsi structurée. C'est cela qui nous montre la fonction paradoxale et organisatrice du point. Mais ce que ceci nous permet d'articuler maintenant, c'est que ce point est fait de l'accolement de deux bords d'une coupure, coupure qui ne saurait elle-même d'aucune façon être retraversée, être sécable, coupure que vous voyez ici, à la façon dont je l'ai pour vous imagée, comme déduite de la structure de la surface, et qui est telle qu'on peut dire que si nous définissons arbitrairement quelque chose comme intérieur et comme extérieur, en mettant par exemple en bleu sur le dessin ce qui est intérieur et en rouge ce qui est extérieur, à l'un des bords de ce point l'autre se présenterait ainsi, puisqu'il est fait d'une coupure, si minimale que vous puissiez la supposer, de la surface qui vient se superposer à l'autre. Dans cette coupure privilégiée, ce qui s'affrontera sans se rejoindre ce sera un extérieur avec un intérieur, un inté­rieur avec un extérieur. Telles sont les propriétés que je vous présente; on pour­rait exprimer cela sous une forme savante, plus formaliste, plus dialectique... sous une forme qui me paraît non seulement suffisante, mais nécessaire pour pouvoir ensuite imager la fonction que j'entends lui donner pour notre usage.

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