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L'identification

je vous ai fait remarquer que la double coupure est la première forme de cou­pure qui introduise, dans la surface définie comme cross-cap du plan projectif, la première coupure, la coupure minimale qui obtienne la division de cette sur­face. Je vous ai déjà indiqué la dernière fois ce à quoi aboutissait cette division et ce qu'elle signifiait. Je vous l'ai montré dans des figures très précises que vous avez, je l'espère, toutes prises en notes, et qui consistaient à vous prouver que cette division a justement pour résultat de diviser la surface en:

1°. une surface de Moebius, c'est-à-dire une surface unilatère du type de la figure que voici (1).

Celle-ci conserve, si l'on peut dire, en elle une partie seulement des propriétés de la surface appelée cross-cap, et justement cette partie particulièrement intéressante et expressive qui consiste dans la propriété unilatère, et dans celle que j'ai depuis toujours mise en valeur lorsque j'ai fait circu­ler parmi vous de petits rubans de Mœbius de ma fabrication, à savoir qu'il s'agit d'une surface gauche, qu'elle est, dirons-nous dans notre langage, spéculari­sable, que son image dans le miroir ne saurait lui être superposée, qu'elle est structurée par une dissymétrie foncière. Et c'est tout l'intérêt de cette structure que je vous démontre, c'est que

2°. la partie centrale au contraire (2), ce que nous appelons la pièce centrale, isolée par la double coupure, tout en étant manifestement celle qui emporte avec elle la véritable structure de tout l'appareil appelé cross-cap, il suffit de la regar­der, dirai-je, pour le voir, il suffit d'imaginer que, d'une façon quelconque, se rejoignent ici les bords dans les points de correspondance qu'ils présentent visuellement, pour que soit aussitôt reconstituée la forme générale de ce plan projectif ou cross-cap. Mais avec cette coupure, ce qui apparaît, c'est une sur­face qui a cet aspect que vous pouvez, je pense, maintenant considérer comme quelque chose qui, pour vous, arrive à une suffisante familiarité pour que vous la projetiez dans l'espace cette surface qui se traverse elle-même selon une cer­taine ligne qui s'arrête en un point.

C'est cette ligne, et c'est surtout ce point, qui donnent à la forme à double tour de cette coupure sa signification privilégiée du point de vue schématique,

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