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q(0)      =      /  ( k + 1 )  questa condizione iniziale serve ad individuare il valore di k che non è definito dall’equazione;      q()     =      

La funzione presenta una concavità iniziale verso l’alto (derivata seconda positiva, crescita veloce) un punto di flesso (derivata seconda nulla, andamento approssimabile con una retta nell’intorno del punto di flesso) e infine una zona con concavità verso il basso (derivata seconda negativa, crescita sempre più lenta).  Il punto di flesso si ha6 per  tF  =  1/ a1 . ln (k).

L’equazione differenziale da cui siamo partiti può essere interpretata nel modo seguente:  

1/q . dq / dt   =  a1 / .  (1 – q )

cioè la velocità percentuale di crescita è proporzionale dalla distanza dal valore di saturazione.

Con questa interpretazione risulta agevole comprendere l’estensione al caso in cui il termine di freno subentri con un certo ritardo T: l’equazione  sarà  dq / dt  =   a1 q (1 – q(t-T) / ) ovvero il termine di freno è proporzionale ad un pregresso valore del tempo.

In economia la logistica rappresenta efficacemente fenomeni quali la penetrazione sul mercato di un nuovo prodotto (il suo ciclo di vita), la durata della progettazione di un prodotto complesso, l’accumulo dei costi di produzione di un prodotto complesso.

Per quanto possa apparire complessa nell’espressione analitica, la curva logistica è facile da maneggiare dal punto di vista del fitting, cioè della descrizione di un set di dati con un’espressione analitica di questo tipo della quale vanno determinati i parametri

6  Per trovare il punto di flesso basta azzerare la derivata seconda   d2q / dt2   =

. a12 . k e – a1 . t  / ( k e – a1. t   + 1 ) 2  + . a12 . k e – a1 . t  /  ( k e – a1. t + 1 ) 3 = 0 ovvero   1    +    1 /  ( k e – a1. t + 1 ) =  0  cioè  ln ( k ) – a1 t  =  0  che dà  t  =  1/ a1 . ln (k).

18/11/2002

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